一些前置知识，期望、方差、协方差概念及其相关公式参见带你深入理解期望、方差、协方差的含义
定义
皮尔逊相关系数，简称相关系数，严格来说，应该称为“线性相关系数”。这是因为，相关系数只是刻画了X，Y之间的“线性”关系程度。换句话说，假如X与Y有其它的函数关系但非线性关系时，用相关系数来衡量是不合理的。 相关系数定义为：
ρ
X
,
Y
=
cov
(
X
,
Y
)
σ
X
σ
Y
=
E
[
(
X
−
E
X
)
(
Y
−
E
Y
)
]
σ
X
σ
Y
=
E
(
X
Y
)
−
E
(
X
)
E
(
Y
)
E
(
X
2
)
−
E
2
(
X
)
E
(
Y
2
)
−
E
2
(
Y
)
\rho_{X, Y}=\frac{\operatorname{cov}(X, Y)}{\sigma_{X} \sigma_{Y}}=\frac{E\left[\left(X-EX\right)\left(Y-EY\right)\right]}{\sigma_{X} \sigma_{Y}}=\frac{E(X Y)-E(X) E(Y)}{\sqrt{E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X)} \sqrt{E\left(Y^{2}\right)-E^{2}(Y)}}
ρX,Y=σXσYcov(X,Y)=σXσYE[(X−EX)(Y−EY)]=E(X2)−E2(X)
E(Y2)−E2(Y)
E(XY)−E(X)E(Y)
c
o
v
cov
cov为协方差，
σ
\sigma
σ为标准差。
相关系数有以下性质：
若
X
，
Y
X，Y
X，Y相互独立，则
ρ
X
,
Y
=
0
\rho_{X, Y}=0
ρX,Y=0，但
ρ
X
,
Y
=
0
\rho_{X, Y}=0
ρX,Y=0 不能推出
X
,
Y
X,Y
X,Y相互独立，等于0的情况称不相关，即独立则不相关，反过来不一定。第一条的例外：当
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y)为二维正态时，由相关系数=0能推出
X
，
Y
X，Y
X，Y独立
−
1
≤
ρ
X
,
Y
≤
1
-1 \leq \rho_{X, Y} \leq 1
−1≤ρX,Y≤1，小于0时为负相关，大于0时为正相关，为当且仅当
X
,
Y
X,Y
X,Y有严格线性关系时取等
应用
实际应用中，通常用
r
r
r表示相关系数，假如我们有一组样本点 (x,y)，怎么计算它们的相关系数？ 基于样本对期望、方差、协方差进行估计，也就是：
E
(
X
)
=
X
ˉ
=
1
n
∑
i
=
1
n
X
i
E(X)=\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i
E(X)=Xˉ=n1i=1∑nXi
σ
X
2
=
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
ˉ
)
2
\sigma_{X}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}
σX2=n−11i=1∑n(Xi−Xˉ)2
cov
(
X
,
Y
)
=
1
n
−
1
∑
n
i
=
1
(
X
i
−
X
ˉ
)
(
Y
i
−
Y
ˉ
)
\operatorname{cov}(X, Y)=\frac{1}{n-1}{\sum_{n}^{i=1}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}
cov(X,Y)=n−11n∑i=1(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ) （之所以除以n-1而不是除以n，是因为我们是用样本去估计总体，除n-1才是统计学上的“无偏估计”，这样能使我们以较小的样本集更好的逼近总体的标准差 ）
上面的任何一个公式看不懂可以看这篇博客
将上述公式代入定义中得，
r
=
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
ˉ
)
(
Y
i
−
Y
ˉ
)
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
ˉ
)
2
∑
i
=
1
n
(
Y
i
−
Y
ˉ
)
2
r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}}
r=∑i=1n(Xi−Xˉ)2
∑i=1n(Yi−Yˉ)2
∑i=1n(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)
当计算出相关系数后，可以通过以下取值范围判断变量的相关强度：
|r|相关强度0.8-1.0极强相关0.6-0.8强相关0.4-0.6中等程度相关0.2-0.4弱相关0.0-0.2极弱相关或无相关
理解
协方差的定义是从方差而来的，
X
X
X的方差是
E
(
X
−
E
X
)
E(X-EX)
E(X−EX)与
(
X
−
E
X
)
(X-EX)
(X−EX)的乘积的期望，如今把一个
(
X
−
E
X
)
(X-EX)
(X−EX)换为
(
Y
−
E
Y
)
(Y-EY)
(Y−EY)，其形式接近方差，又有
X
，
Y
X，Y
X，Y二者的参与，由此得出协方差的名称。
从功能上来说，其实协方差（Covariance）就足以刻画两个变量的相关关系。解释参见：协方差的意义
但是协方差是带有“单位”的，它和
X
,
Y
X,Y
X,Y的数值有关，假如
X
X
X的数值量级整体都远远大于
Y
Y
Y，那么就会使得计算出来的协方差很大，它的值是不可比较的，并不能统一地度量。所以我们需要将其无量纲化（单位化），以消除数值量级差异的影响，于是就引入了皮尔逊相关系数，其在协方差的基础上除以各自的标准差，这样就消除了单位，使得计算出来的值介于-1和1之间，相互之间是可比较的，不用受单位的影响。
其它理解角度：https://www.zhihu.com/question/19734616
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